Kelas 11 SMAMatriksPenyelesaian Persamaan Linear Dua atau Tiga Variabel dengan Menggunakan Konsep MatriksAgen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini Paket I Paket II Sewa Hotel 5 6 Tempat Wisata 4 5 Biaya Total Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel tiap malam dan biaya satu tempat satu tempat wisata adalah ....Penyelesaian Persamaan Linear Dua atau Tiga Variabel dengan Menggunakan Konsep MatriksMatriksALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0107Himpunan penyelesaian persamaan polinomial x^3+x^2-4x-4=0...0544Bu Ani adalah seorang pengusaha makanan ringan yang menye...0326Tentukan nilai x dan y demikian sehingga a. x 10=3 x+...0756Harga 4 kg salak, 1 kg jambu, dan 2 kg kelengkeng adalah ...Teks videoHalo governance di sini kita punya soal mengenai aplikasi matriks dari persamaan linear dua variabel berbentuk soal cerita pertama kita akan membuat persamaan linear dari tabel ini Dengan menyebarkan biaya sewa hotel dengan dan biaya tempat wisata dengan y untuk pakai pertama total biaya Hotel 5 malam dan 305 x ditambah 4 tempat wisata adalah 4 y = 3 juta kemudian Kapal Api 2 biaya sewa hotel 6 malam ditambah 5 tempat wisata = 3 juta rupiah kayaknya di sini kita bisa membentuk matriksnya menjadi ada 3 matriks seperti ini 12 = matriks 3. Nama titik pertama ini berisi koefisien variabel yang diatas secara berurutan pastikan variabel sejajar dulu X dan Y sehingga posisinya sama juga ya 5465 seperti ini yang di atas kemudian matriks 2 isinya variabel secara berurutan atas bawah sini nanti kalau misalnya kita kalikan akan mendapat persamaan Seperti di atas kemudian matriks terakhir kita isi dengan konstanta atau hasilnya dengan menggunakan invers matriks kita bisa pindahkan matriks yang pertama ini ke ruas kanan sehingga kita mendapatkan ekstensinya sehingga x y = matriks 5 4 6 5 invers dikalikan dengan matriks dan tiga juta oke, di sini aku punya rumus invers matriks yaitu seperti ini Sehingga tinggal kita masukkan aja X dan Y = 1 per A min b c berarti 5 dikali 5 dikurang 6 dikali 425 dikurang 24 dikali D dananya posisinya dibalik kemudian B dan C diberi negatif kemudian dikali dengan matriks 3 juta seratus ribu dan 3 juta Karena 1 per 25 dikurang 24 = 1 Sisanya adalah matriks yang ini sehingga jawaban yang sesuai yang cocok adalah D Oke sampai jumpa dilain soalSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul
Mesindapat menghasilkan Output sesuai dengan kebutuhan yang direncanakan. Kualitas produk yang dihasilkan oleh Mesin dapat terjaga dan sesuai dengan harapan. Mencegah terjadinya kerusakan berat yang memerlukan biaya perbaikan yang lebih tinggi. Untuk menjamin keselamatan tenaga kerja yang menggunakan mesin yang bersangkutan. Matriks memiliki beragam operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Operasi-operasi tersebut menggunakan cara tersendiri. Hal tersebut disebabkan oleh susunan bilangan pada matriks yang berbeda dari operasi-operasi matematika lainnya. Berikut penjelasan mengenai oeprasi penjumlahan pada matriks dan contoh soal guna menunjang proses belajar Grameds. Sekilas Tentang Matriks Matriks merupakan susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam kolom dan baris sehingga membentuk suatu bangun segi empat. Sebagai gambaran awal matriks, Grameds dapat menyimak contoh matriks berukuran 2 x 3 di bawah ini. Ukuran matriks ditentukan berdasarkan jumlah baris dan kolom yang dimilikinya. Matriks dengan m kolom dan n baris disebut dengan matriks m x n, yang mana m dan n disebut dengan dimensinya. Misalnya matriks di atas disebut dengan matriks 2 x 3. Hal tersebut disebabkan, matriks tersebut terdiri dari 2 baris dan 3 kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut dengan matriks persegi. Adapun matriks dengan jumlah satu baris disebut dengan vektor baris. Sedangkan, matriks dengan satu kolom disebut dengan vektor kolom. Adapun matriks tak terbatas merupakan matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas atau keduanya. Pada beberapa konteks matriks yang dipertimbangkan tanpa baris atau tanpa kolom disebut dengan matriks kosong. Untuk penjelasan lebih lanjut, Grameds dapat menyimak gambar di bawah ini. Baris m adalah horizontal dan kolom n adalah vertikal. Setiap elemen matriks sering kali dilambangkan dengan variabel dua notasei indeks. Misalnya, a2,1 mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks A. Setiap objek dalam matriks A berdimensi m x n sering dilambangja dengan ai,j. Yang mana dilai maksimum i = m dan nilai maksimum j = n. Objek dalam matriks disebut dengan elemen, entri atau anggota matriks. Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama maka kedua matriks tersebut dapat dilakukan penjumlahan atau pengurangan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, syarat perkalian matriks, yakni ketika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua pada perkalian dua matriks. Maksudnya, perkalian matriks m x n dengan matriks n x p menghasilkan matriks m x p. Oleh sebab itu, perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Pada umumnya, matriks digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suati generalisasi fungsi linear seperti f x = 4x. Misalnya, efek rotasi pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dilambangkan dengan matriks R. Jika v adalah sebuah vektor di dimensi tiga, hasil Rv menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Matriks dapat diterapkan dalam berbagai bidang sians. Misalnya pada fisika berupa mekanika klasik, optika, dan mekanika kuantum. Matriks juga digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Pada bidang computer graphics, matriks diterapkan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks digunakan sebagai penjelas probabilitas keadaan. Seperti pada algoritma pagerank dalam menentukan urutan halaman pencairan di Google. Adapun kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari tutunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga diterapkan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem ekonomi relasi. Fungsi Matriks dalam Kehidupan Sehari-hari Konsep Penjumlahan MatriksTranspose, Determinan, dan Invers Matriks1. Transpose Matriks2. Determinan Matriks3. Invers Matriksa. Invers Matriks Berdasarkan Ordo 2 x 2b. Invers Matriks Berdasarkan Ordo 3 x 3Contoh Soal Matriks dan PenyelesaiannyaBuku TerkaitMateri Terkait Pakaian Adat Fungsi Matriks dalam Kehidupan Sehari-hari Meskipun operasi matriks terlihat sulit, tetapi ia memiliki banyak manfaat untuk mempermudah pekerjaan-pekerjaan manusia dalam kehidupan sehari-hari. Berikut beberapa manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan sehari-hari. Membantu pekerjaan insinyur dalam menyelesaikan masalah-masalah dengan banyak variabel. Matriks juga dapat digunakan untuk membuat rapor dan jurnal. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier, transformasi geometri, menentukan jadwal siaran televisi, dan pemrogaman komputer. Membantu menganalisis permasalahan ekonomi yang memiliki berbagai macam variabel. Sebagai cara untuk menganalisis dalam bidang statistik, pendidikan, sains, ekonomi, dan teknologi. Membantu mencari solusi pada operasi penyelidikan, misalnya operasi penyelidikan sumber daya alam batu bara, minyak bumi, dan sebagainya. Operasi penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan ketika ordo yang dimiliki matriks dalam operasi tersebut berjumlah sama. Jumlah dua matriks A = dan B= adalah sebuah matriks baru C= yang berordo sama, yaitu elemen-elemennya merupakan hasil penjumlahan atau hasil pengurangan elemen-elemen matriks A dan B. Berikut konsep atau rumus operasi penjumlahan matriks. Adapun sifat-sifat operasi penjumlahan matriks sebagai berikut. 1. Sifat Komutatif A + B = B = A 2. Sifat Asosiatif A + B + C = A + B + C = A + B + C Matriks nol merupakan matriks identitas penjumlahan sehingga berlaku A + 0 = 0 + A = A Matriks identitas pada operasi hitung penjumlahan matriks –A. A + -A = -A + A = 0 Agar lebih memahami penjumlahan matriks, Grameds dapat menyimak contoh soal berikut ini. Hitunglah A + B, jika diketahui matriks A dan B sebagai berikut. Jawab Transpose, Determinan, dan Invers Matriks 1. Transpose Matriks Transpose matriks merupakan matriks yang dioperasikan dengan melakukan pertukaran elemen baris menjadi kolom dan elemen kolom menjadi baris dari matriks awalnya. Notasi dari matriks transpose biasanya dengan AT. Operasi transpose hanya terjadi pada matriks dan vektor. Pada skalar tidak terjadi operasi transpose karena hanya terdiri dari satu baris dan satu kolom. Hal tersebut menyebabkan nilai skalar sama dengan transpose skalar tersebut. Transpose matriks memiliki beberapa sifat, di antaranya sebagai berikut. ATT= A A + BT= AT + BT A – BT= AT – BT kAT= dengan k adalah konstanta ABT= BTAT Agar lebih memahami transpose matriks, Grameds dapat menyimak contoh di bawah ini. 2. Determinan Matriks Determinan merupakan nilai yang dihitung melalui unsur-unsur matriks berbentuk mirip dengan persegi. Simbol dari determinan matriks A adalah det A, det A, atau A. Matriks persegi sendiri merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika jumlah baris dan kolom berbeda maka determinannya tidak dapat ditemukan. Perlu diingat bahwa teori dasar matriks adalag penjumlahan kolom pada tabel atau mengurangi, mengalikan, atau membagi nilai yang ada di suatu kolom. Determinan memiliki sifat tertentu yang khas seperti pada sebuah matriks A dan B yang berordo n x n sebagai berikut. AB = A B AT = A. Simbol T merupakan transpose matriks. A-1 = 1/A atau disebut juga dengan invers matriks. kA = knA. K merupakan bilangan riil dan n adalah ordo matriks A. Apabila sebuah matriks semua elemen baik baris maupun kolomnya adalah 0, maka nilai determinannya juga 0. Apabila pada matriks dua baris atau kolomnya sama atau kelipatannya, maka nilai determinannya adalah 0. Agar lebih memahami determinan matriks, Grameds dapat menyimak contoh determinan berikut ini. a. Tentukan nilai determinan matriks ordo 2 x 2 di bawah ini. b. Tentukan nilai determinan dari matriks ordo 3 x 3 di bawah ini. detA = + + – – – = 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8 = 11 3. Invers Matriks Invers berarti kebalikan. Adapun, invers matriks merupakan kebalikan dari sebuah matriks. Jika matriks tersebut dikalikan dengan inversnya akan menjadi matriks identitas. Invers matriks dinotasikan dengan A-1. Syarat dari invers matriks, yakni nilai determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol. Penentuan invers dari sebuah matriks memiliki dua aturan atau cara berdasarkan ordo. Berikut rincian cara menentukan invers. a. Invers Matriks Berdasarkan Ordo 2 x 2 Invers matriks ordo 2 x 2 dapat dicari nilainya dengan cara di bawah ini. Untuk lebih memahami invers matriks ordo 2 x 2, Grameds dapat menyimak soal berikut ini. b. Invers Matriks Berdasarkan Ordo 3 x 3 Invers matriks ordo 3 x 3 dapat dicari dengan metode eliminasi Gauss Jordan. Sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. Matriks persegi A dieliminasi dengan cara oeprasi aljabar sampai membentuk matriks identitas. Jika matriks A telah menjadi matriks identitas maka akan berubah menjadi invers dari matriks A. Untuk lebih memahami invers matriks ordo 3 x 3, Grameds dapat menyimak soal berikut ini. Contoh Soal Matriks dan Penyelesaiannya Untuk lebih memahami matriks, Grameds dapat menyimak beberapa soal matriks dan penyelesaiannya di bawah ini. 1. Tentukan nilai x + y dari matriks di bawah ini. Jawab Ketika diketahui sebuah persamaan dalam matriks maka yang dapat dilakukan adalah menyeleseaikannya setahap demi setahap. Temuan di atas disubstitusikan ke persamaan berikut. Dari operasi matriks dan kesamaan matriks di atas maka dapat ditemukan beberapa persamaan di antranya sebagai berikut. Jadi nilai dari x + y adalah 23. 2. Diketahui matriks A dan B sebagai berikut. Jika A + B = C, maka tentukan invers matriks C! Jawab Jadi nilai 3. Diketahui matriks A dan B seperti di bawah ini. Jika C = AB, maka tentukan nilai invers matriks C! Jawab Jadi, nilai dari invers matriks C adalah 4. Agen perjalanan “Lombok Menawan” menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini. Paket I Paket II Sewa hotel 5 6 Tempat wisata 4 5 Biaya total Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya sewa hotel tiap malam dan biaya satu tempat wisata adalah… Jawab Misalkan sewa hotel = x dan tempat wisata = y, maka tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk matriks, kurang lebih seperti berikut ini. Untuk mendapatkan nilai x dan y dalam persamaan matriks maka dapat menggunakan invers matriks sebagai berikut. Jadi, 5. Tentukan determinan dari matriks A + B2 dari matriks A dan matriks B sebagai berikut. Jawab Dengan menerapkan aturan perkalian matriks dan determinan matriks An=An maka akan diperoleh. Jadi, determinan dari matriks A + B2 adalah 0. 6. Jika matriks A = maka nilai A2 – 2A + I adalah… Jawab Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat diperoleh sebagai berikut. jadi nilai A2 – 2A + I dalam 7. Diketahui invers matriks A sebagai berikut. Berapa matriks x yang memenuhi hubungan Jawab Dengan menerapkan salah satu sifat matriks A . A-1 = I sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. Jadi, matriks x yang memenuhi hubungan adalah 8. Tentukan determinan dari ATA + BBT dari kedua matriks berikut. Jawab Jadi, nilai ATA + BBT = 5 9. Tentukan matriks A dari hasil kali matriks berikut ini. Jawab Jadi matriks 10. Tentukan invers dari matriks X yang memenuhi persamaan berikut ini. Jawab Dengan menerapkan sifat matriks A . B = C maka B = A-1 . C, maka diperoleh persamaan berikut ini. Jadi invers dari matriks X bernilai ePerpus adalah layanan perpustakaan digital masa kini yang mengusung konsep B2B. Kami hadir untuk memudahkan dalam mengelola perpustakaan digital Anda. Klien B2B Perpustakaan digital kami meliputi sekolah, universitas, korporat, sampai tempat ibadah." Custom log Akses ke ribuan buku dari penerbit berkualitas Kemudahan dalam mengakses dan mengontrol perpustakaan Anda Tersedia dalam platform Android dan IOS Tersedia fitur admin dashboard untuk melihat laporan analisis Laporan statistik lengkap Aplikasi aman, praktis, dan efisien Padapengujian ini nilai kuat tekan yang paling tinggi yaitu pada variasi agregat halus 30%, untuk umur pengujian 7 hari, 28 hari, 56 hari serta 90 hari. PENGARUH VARIASI ANYAMAN LATERAL SERAT CANTULA (AGAVE CANTULA ROXB) PADA TEXTILE REINFORCED CONCRETE (TRC) TERHADAP KUAT TEKAN BETON Edy Purwanto ; Stefanus Adi Kristiawan ;Every company has an interest in calculating the cost of production. Cost of production is a way to calculate the costs used in producing a product. This study aims to analyze the calculation of the cost of the production method used by the hotel and determine the cost of production calculated by the method of activity-based costing ABC. The method used in this research is a quantitative method. Data collected through observation, unstructured interviews, and literature study. The results of this study indicate that the calculation of the cost of production of hotel rooms conducted by the company occurred under costing for standard, superior, and superior plus types of rooms. As for the type of family room, family plus, and family-standard over costing occurs. The difference in the calculation results occurs because the calculation method by the company has not been done in detail as in the ABC perusahaan berkepentingan terhadap perhitungan harga pokok produksi. Harg...
Untukmengintegrasikan sebuah sistem yang sesuai dengan teknologi sekarang ini, tanda tangan akan diubah dari bentuk fisik menjadi sebuah citra digital yang akan diproses nantinya. maka kotak akan bernilai 0. Data yang disimpan dalam bentuk matriks MĂ—N sebagai masukan data untuk diproses melalui jaringan saraf tiruan perambatan balik
belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi oleh siswa, karena untuk belajar matriks hanya butuh sedikit ketelitian dan kesabaran. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada matriks juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal matriks dan menemukan solusinya. Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa "$\ \ $" atau kurung siku "$[\ \ ]$". Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Umumnya penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya. SOAL DAN PEMBAHASAN MATRIKS Soal-soal yang berkembang pada matriks sering juga dikaitkan dengan materi matematika lainnya, seperti Eksponen, Bentuk Akar, Logaritma, Trigonometri, dan materi lainnya berpeluang dikaitkan dengan matriks. Soal berikut yang kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri atau SMMPTN Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri dan UN Ujian Nasional. 1. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 *Soal LengkapSebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$. Jika diketahui $\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$ adalah matriks ortogonal, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$ $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & 0 \\ C\ & \dfrac{1}{9} \\ D\ & \dfrac{4}{9} \\ E\ & 1 \end{align}$ Alternatif PembahasanSekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$. Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$. Eksplorasi yang kita lakukan yaitu $\begin{align} A^{-1} &= A^{T} \\ & \text{*kalikan dengan matriks A} \\ A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\ I & = A \times A^{T} \end{align}$ Sehingga kita peroleh persamaan; $\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut; $a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left pers. 1 \right $ $\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left pers. 2 \right $ $\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left pers. 3 \right $ Apabila persamaan $\left 1 \right $,$\left 2 \right $, dan $\left 3 \right $ kita jumlahkan, maka akan kita peroleh persamaan berikut; $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 1$2. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 *Soal LengkapJika $A=\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}$ dan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ maka $x+y=...$ $\begin{align} A\ & 9 \\ B\ & 14 \\ C\ & 19 \\ D\ & 23 \\ E\ & 25 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan, $A^{2}=A\times A$ $A^{2}=\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}$ $A^{2}=\begin{bmatrix} 22&27\\ 18&31 \end{bmatrix}$ $xA=\begin{bmatrix} 4x&3x\\ 2x&5x \end{bmatrix}$ $yI=\begin{bmatrix} y&0\\ 0&y \end{bmatrix}$ Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 22&27\\ 18&31 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4x&3x\\ 2x&5x \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} y&0\\ 0&y \end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya $\begin{align} 18-2x+0 &= 0 \\ 18 &= 2x \\ 9 &=x \\ \hline 31-5x+y &=0 \\ 31-45+y &=0 \\ -14+y &=0 \\ y &=14 \\ \hline x+y &= 23 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 23$3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$; dan $A+B=C$. Invers matriks $C$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan$C=A+B$ $C=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{52-51}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$; $C=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$; dan $D=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A^{T}$ adalah transpose matriks $A$, nilai $2a+\frac{1}{2}b$ yang memenuhi persamaan $2A^{T}-B=CD$ adalah... $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 7 \\ C\ & 12 \\ D\ & 17 \\ E\ & 31 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$CD=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} 1-1+-3-2 & 12+-31\\ 4-1+2-2 & 42+21 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} -1+6 & 2-3\\ -4-4 & 8+2 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} 5 & -1\\ -8 & 10 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=2\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=\begin{pmatrix} 5 & 4-a\\ 6-b & 10 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=CD$ $\begin{pmatrix} 5 & 4-a\\ 6-b & 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ -8 & 10 \end{pmatrix}$ Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$. Nilai $2a+\frac{1}{2}b$ $ \begin{align} 2a+\frac{1}{2}b & = 25+\frac{1}{2}14 \\ & = 10+7 \\ & = 17 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 17$5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $C=AB$, invers matriks $C$ adalah $C^{-1}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan$C=AB$ $C=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 9 & -1\\ 15 & -5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{9-5-15-1}\begin{pmatrix} -5 & 1\\ -15 & 9 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix} -5 & 1\\ -15 & 9 \end{pmatrix}$ $C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}$6. Soal UNBK Matematika IPA 2018 *Soal LengkapAgen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini - Paket I Paket II Sewa Hotel 56 Tempat Wisata 4 5 Biaya Total Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya sewa hotel tiap malam dan biaya satu tempat wisata adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -6\\ -4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 6\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 & 5\\ 5 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanDengan memisalkan Sewa Hotel=$x$ dan Tempat Wisata=$y$, maka tabel diatas jika kita sajikan dalam bentuk matriks, kurang lebih seperti berikut ini; $5x+4y= $6x+5y= $\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ Untuk mendapatkan nilai $x$ dan $y$ dalam persamaan matriks, kita coba gunakan invers matriks; $\begin{align} A \cdot X & = B \\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ I \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ X & = A^{-1} \cdot B \\ \end{align} $ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{55-64}\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -6\\ -4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} a & 1\\ b & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix}$. maka nilai $ab$ adalah... $\begin{align} A\ & 9 \\ B\ & 10 \\ C\ & 12 \\ D\ & 14 \\ E\ & 16 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & 1\\ b & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+1 & a\\ ab+2 & b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ ab+2 & = 14 \\ ab & = 12 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 12$8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 *Soal LengkapDiketahui $A=\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}$, Jika $A=A^{-1}$, nilai $a-d$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad+3}\begin{pmatrix} d & 3\\ -1 & a \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad+3} & \dfrac{3}{ad+3}\\ \dfrac{-1}{ad+3} & \dfrac{a}{ad+3} \end{pmatrix}$ Kesimpulan yang bisa kita ambil dari kesamaan matriks diatas adalah... $ \begin{align} \dfrac{-1}{ad+3} & = 1 \\ -1 & = ad+3 \\ ad & = -1-3=-4 \end{align} $ $ \begin{align} a & = \dfrac{d}{ad+3} \\ a & = \dfrac{d}{-4+3} \\ a & = -d \\ ad & = -4 \\ -dd & = -4 \\ -d^{2} & = -4 \\ d & = \pm \sqrt{4} =\pm 2 \end{align} $ Untuk $d=2$ maka $a=-2$ Untuk $d=-2$ maka $a=2$ Nilai $a-d=2-2=4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 4$9. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 *Soal LengkapDiketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $detA=0$ dimana $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $3,4$ adalah... $\begin{align} A\ & x+y-7=0 \\ B\ & x-y+7=0 \\ C\ & x-y+1=0 \\ D\ & x+y-1=0 \\ E\ & x+y+1=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita mulai dengan menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol. $0=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 1 & 1\\ x & y\\ 2 & 1 \end{matrix}\right$ Persamaan garis $l$ adalah $1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1-2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3=0$ $3y+2+2x-4y+1+3x=0$ $ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$ $ 1-y-x=0$ $ 1-x=y$ Persamaan garis yang sejajar $m_{1}=m_{2}$ dengan garis $l$ melalui $3,4$ adalah $\begin{align} m & = -1 \\ y-y_{1} & = mx-x_{1} \\ y-4 & = -1x-3 \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ x+y-7=0$ 10. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 *Soal LengkapDiketahui $P=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah... $\begin{align} A\ & 6x+y-20=0 \\ B\ & 2x-3y-6=0 \\ C\ & 3x-2y-4=0 \\ D\ & x-6y+16=0 \\ E\ & 6x-y-16=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanUnsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien, $m=k=PQ$ $\begin{align} m & = PQ \\ & = \left \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \\ & = \begin{vmatrix} -1 & -4\\ 0 & -6 \end{vmatrix} \\ & = 6-0=6 \end{align}$ Titik $A$ $\begin{array}{cccc} 2x-y = 4 & \times 2 \\ 3x-2y = 5 & \times 1 \\ \hline 4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & - \\ \hline x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 33-2y = 5 & \\ y = 2 \end{array} $ Persamaan garis melalui $A3,2$ dengan $m=6$ $\begin{align} y-y_{1} & = mx-x_{1} \\ y-2 & = 6x-3 \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 6x-y-16=0$ 11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 *Soal LengkapNilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah... $\begin{align} A\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ B\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ C\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ D\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ E\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align}$ Alternatif PembahasanAgar sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$ $\begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align}$ Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{fx}$ mempunyai nilai real adalah $fx \geq 0$. Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$. Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini; $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$12. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 *Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix}$, $b \neq 0$ dan $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ memenuhi $A \cdot A=A+I$, maka $b^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{5}{4} \\ B\ & \dfrac{3}{2} \\ C\ & \dfrac{7}{4} \\ D\ & 2 \\ E\ & \dfrac{9}{4} \\ \end{align}$ Alternatif PembahasanKarena matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $A \cdot A=A+I$ sehingga berlaku $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & ab+ab\\ ab+ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a+1 & b\\ b & a+1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & 2ab \\ 2ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a+1 & b\\ b & a+1 \end{pmatrix} \\ \hline 2ab & = b \\ a & = \dfrac{b}{2b} = \dfrac{1}{2} \\ a^{2}+b^{2} & = a+1 \\ b^{2} & = a+1-a^{2} \\ & = \dfrac{1}{2}+1-\left \dfrac{1}{2} \right ^{2} \\ & = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \dfrac{5}{4}$13. Soal SBMPTN 2014 Kode 643 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, maka nilai $z-x$ adalah... $\begin{align} A\ & 6 \\ B\ & 3 \\ C\ & 0 \\ D\ & -3 \\ E\ & -6 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1-1+0 & -x -y+0\\ 1+1+0 & -x+y+2z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & -x -y \\ 2 & -x+y+2z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} -x-y=2 & \\ -x+y+2z = 4 & + \\ \hline -2x+2z = 6 & \\ -x+z = 3 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$14. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ dengan $x \neq \dfrac{1}{2}$, maka nilai $\dfrac{1}{2}x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -4 \\ B\ & -2 \\ C\ & 0 \\ D\ & 2 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanKita mengetahui sifat perkalian matriks yaitu jika $A=B^{-1} \cdot C$ maka $BA=C$. $\begin{align} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2y+x \\ -y+x^{2} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2y+x=4$ sehingga $ y+\dfrac{1}{2}x=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$15. Soal SBMPTN 2014 Kode 601 *Soal LengkapJika $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x & y \\ -z & z \end{pmatrix}=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanInvers sebuah matriks $A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $\begin{align} P & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ P^{-1} & = \frac{1}{13-21}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} x & y \\ -z & z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{2}x=3$ dan $\dfrac{1}{2}y=-2$ sehingga $x+y=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 2$ 16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B$ memiliki invers, dan $ \left AB^{-1} \right^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ maka matriks $B=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -5 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanSifat perkalian invers pada matriks berlaku $AB^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$. $\begin{align} \left AB^{-1} \right^{-1} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} \cdot A & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot A \\ B & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2+1 & 3-1 \\ 6+0 & 9+0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$17. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, dan $B= \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & 3 \end{pmatrix}$. Jika determinan $AB$ adalah $10$, maka $xy=\cdots$ $\begin{align} A\ & 4 \\ B\ & 6 \\ C\ & 8 \\ D\ & 10 \\ E\ & 12 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12 \end{pmatrix} \\ AB & = \begin{vmatrix} 1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12 \end{vmatrix} \\ 10 & = 1+2x3y+12-y+63+4x \\ 10 & = 3y+12+6xy+24x -3y-4xy-18-24x \\ 10 & = 2xy -6 \\ 10+6 & = 2xy \\ 8 & = xy \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 8$18. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dengan $b^{2} \neq 2a^{2}$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} \begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ax+bx+by \\ bx+2ax+2ay \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} ax+bx+by=a & \times b\\ bx+2ax+2ay=b & \times a \\ \hline abx+b^{2}x+b^{2}y=ab & \\ abx+2a^{2}x+2a^{2}y=ab & - \\ \hline b^{2}x+b^{2}y-2a^{2}x+2a^{2}y=0 \\ \left b^{2} -2a^{2} \right x+ \left b^{2} -2a^{2} \righty=0 \\ \left b^{2} -2a^{2} \right \left x+y \right =0 \\ \left x+y \right = \dfrac{0}{\left b^{2} -2a^{2} \right} \\ \left x+y \right = 0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 *Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^{t}$ dengan $C^{t}$ transpose matriks $C$, maka $2x+3y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 4 \\ C\ & 5 \\ D\ & 6 \\ E\ & 7 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} A+B &= C^{t} \\ \begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x+9 & -2+3x \\ x+8 & 3y-2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x+8=6$ sehingga $x=-2$ $3y-2=7$ sehingga $y=3$ $2x+3y=2-2+33=-4+9=5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 5$20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 *Soal LengkapJumlah semua entri pada matriks $X$ dari sistem persamaan berikut adalah... $3X-2Y=\begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix}$ $2X-5Y=\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ $\begin{align} A\ & \dfrac{13}{11} \\ B\ & \dfrac{9}{11} \\ C\ & \dfrac{8}{11} \\ D\ & \dfrac{5}{11} \\ E\ & \dfrac{4}{11} \end{align}$ Alternatif PembahasanMatriks $X$ dan $Y$ adalah matriks berordo $1 \times 2$ karena hasil pengurangan matriks tersebut adalah sebuah matriks berordo $1 \times 2$. Sehingga dapat kita misalkan $X=\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$ dan $Y=\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$ $\begin{align} 3X-2Y &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ 3\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3a-2c & 3b-2d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ \hline 2X-5Y &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \\ 2\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}-5\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 2a-5c & 2b-5d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh$3a-2c=3$ dan $2a-5c=1$ $3b-2d=-1$ dan $2b-5d=2$ $\begin{array}{cccc} 3a-2c=3 & 3b-2d=-1 & \times 5 \\ 2a-5c=1 & 2b-5d=2 & \times 2 \\ \hline 15a-10c=15 & 15b-10d=-5 & \\ 4a-10c=2 & 4b-10d=4 & - \\ \hline 11a =13 & 11b =-9 & \\ a =\dfrac{13}{11} & b =\dfrac{-9}{11} \end{array} $ Jumlah semua entri pada matriks $X$ adalah $a+b=\dfrac{4}{11}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \dfrac{4}{11}$ 21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 *Soal LengkapDiberikan matriks $A,\ B,\ C,\ \text{dan}\ D$ berikut ini. $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; $C=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$; $D=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Jika $x,\ y,\ z,\ \text{dan}\ w$ secara berurutan adalah jumlah entri-entri pada matriks $A^{2013},\ B^{2013},\ C^{2013},\ \text{dan}\ D^{2013}$, pernyataan-pernyataan berikut yang BENAR adalah... $\begin{align} 1\ & w-1=y^{2013} \\ 2\ & z=3y^{2012} \\ 3\ & 4z=3x \\ 4\ & 2w-x=2 \end{align}$ Alternatif PembahasanSebagai tahap awal kita coba uji nilai untuk $A^{2}$ dan $A^{3}$ $\begin{align} A^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=8\\ A^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=16 \\ A^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{4}\begin{bmatrix} 16 & 15 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=32 \\ x &= 2^{2013+1} \\ \hline B^{2} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=2 \\ B^{3} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=2 \\ y &= 2 \\ \hline C^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=6 \\ C^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=12 \\ C^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 16 & 8 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=24 \\ z &= 2^{2013-1} \cdot 3 \\ \hline D^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=5 \\ D^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=9 \\ D^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=17 \\ w &= 2^{2013}+1 \\ \end{align}$ Dari nilai $x=2^{2014},\ y=2,\ z=3 \cdot 2^{2012},\ \text{dan}\ w=1+2^{2013}$ yang kita peroleh di atas, maka dapat kita simpulkan $1\ w-1=y^{2013}$ Benar $2\ z=3y^{2012}$ Benar $3\ 4z=3x$ Benar $4\ 2w-x=2$ Benar $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \text{BENAR}$22. Soal UM UNPAD 2009Apabila transpose dari matriks $X=\left \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right $ sama dengan invers dari $X$, maka nilai dari determinan $X$ yang mungkin adalah... $\begin{align} A\ & 1\ \text{atau}\ -1 \\ B\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -\sqrt{2} \\ C\ & \sqrt{3}\ \text{atau}\ 1 \\ D\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -1 \\ E\ & 0\ \text{atau}\ \sqrt{3} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} X &= \left \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right \\ \left X \right &= 2008y-2009x \end{align}$ Seperti yang disampaikan pada soal bahwa jika matriks $X$ kita transpose-kan akan sama dengan invers matriks $X$ atau dapat kita tuliskan menjadi $X^{t}=X^{-1}$. Berdasarkan sifat determinan matriks $ \left A^{t} \right = \left A \right$ dan $ \left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right}$ dapat kita simpulkan $\begin{align} X^{-1} &= X^{T} \\ \left X^{-1} \right &= \left X^{T} \right \\ \dfrac{1}{\left X \right} &= \left X \right \\ \dfrac{1}{\left 2008y-2009x \right} &= \left 2008y-2009x \right \\ 1 &= \left 2008y-2009x \right^{2} \\ \pm 1 &= 2008y-2009x \\ \pm 1 &= \left X \right \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 1\ \text{atau}\ -1$23. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapMatriks $B$ adalah invers matriks $A$, matriks $D$ adalah invers matriks $C$ dan $A \cdot B \cdot C=D$, maka yang merupakan matriks identitas $I$ adalah... $\begin{align} A\ & A^{2} \\ B\ & B^{2} \\ C\ & C^{2} \\ D\ & A \cdot D^{2} \\ E\ & A \cdot C^{2} \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang invers matriks dapat membantu; $ A^{-1}^{-1} = A $ $ A^{-1} . A = = I $ $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $ $ AB^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $ Dari apa yang disampaikan pada soal, dapat kita simpulkan bahwa $ B= A^{-1}$ maka $ B^{-1}=A$ $ D= C^{-1}$ maka $ D^{-1}=C$ $\begin{align} A \cdot B \cdot C & =D \\ A \cdot A^{-1} \cdot C & = C^{-1} \\ I \cdot C & = C^{-1} \\ C & = C^{-1} \\ C \cdot C & = C^{-1} \cdot C\\ C^{2} &= I \end{align}$ $\begin{align} A \cdot B \cdot C & =D \\ B^{-1} \cdot B \cdot C & = D \\ I \cdot D^{-1} & = D \\ D^{-1} & = D \\ D^{-1} \cdot D & = D \cdot D\\ I & = D^{2} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ C^{2}$24. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix}$ maka $ab=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 1 \\ C\ & -\dfrac{1}{2} \\ D\ & -1 \\ E\ & -4 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang invers matriks $2 \times 2$ berikut ini mungkin membantu; Misalkan matriks $ A = \left \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right $ $detA = A = $$ a \times d - b\times c $ invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{A} \left \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right $ $\begin{align} \begin{pmatrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{a-b-0} \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & a-b \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \dfrac{1}{ a-b } & \dfrac{b}{ a-b } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-a+2b=0$ sehingga $a=2b$ $\dfrac{1}{ a-b }=a$ sehingga $\dfrac{1}{ 2b-b }=a$ $\dfrac{1}{ b }=a$ $1=ab$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1$25. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika matriks $M$ berordo $2 \times 2$ sehingga $M \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ dan $M \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $ \begin{align} AB & = \left \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right \left \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} & + \\ + & + \end{matrix} \right \end{align} $ Kita coba dengan memisalkan matriks $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{align} M \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b \\ c-d \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \hline M \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+b \\ 2c+d \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh; $\begin{array}{cccc} a-b = -1 & c-d = 5 & \\ 2a+b = 4 & 2c+d = 7 & + \\ \hline 3a = 3 & 3c = 12 \\ a = 1 & c = 4 \\ b = 2 & d = -1 \end{array} $ $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ 26. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapDiketahui matriks $A =\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}$. Jika $B^{T}$ adalah transpose dari matriks $B$, maka nilai $c$ yang memenuhi $A=2B^{T}$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 5 \\ D\ & 8 \\ E\ & 10 \end{align}$ Alternatif PembahasanJika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ $\begin{align} A & = 2B^{T} \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} & = 2 \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4c-6b & 2a \\ 4a+2 & 2b+14 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;$2= 4c-6b$ $4=2a$ maka $a=2$ $2b=4a+2$ maka $2b=8+2 $, $b=5$ $3c=2b+14$ maka $3c=10+14$, $c=8$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 8$27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 *Soal LengkapDiketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix}$. Nilai $2a-b=\cdots$ $\begin{align} A\ & 18 \\ B\ & 16 \\ C\ & 14 \\ D\ & 10 \\ E\ & 6 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada soal perkalian matriks di atas, maka berlaku $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+4b & a-2b\\ 2+12 & 1-6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix} \end{align} $ $\begin{array}{cccc} 2a+4b = 8 & \times 1 \\ a-2b = 12 & \times 2 \\ \hline 2a+4b = 8 & \\ 2a-4b = 24 & +\\ \hline 4a=32 \\ a=8 \\ b=-2 \end{array} $ Nilai $2a-b=28-2=18$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 18$ 28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$. Determinan matriks $A^{4}$ adalah... $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 4 \\ D\ & 16 \\ E\ & 81 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas, maka berlaku $\begin{align} A^{2}+B &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-B \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}\\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3-1 & -2+4\\ 4-5 & -1+2 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \left A^{2} \right &=21-12=4 \\ \end{align} $ Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left A^{n} \right = \left A \right ^{n}$ maka $\begin{align} \left A^{4} \right &= \left A^{2} \right^{2} \\ &= 4^{2} =16 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 16$29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Jika $B-A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ maka $det \left 2A^{-1} \right$ adalah... $\begin{align} A\ & -4 \\ B\ & -2 \\ C\ & -1 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada pengurangan matriks soal di atas, maka berlaku $\begin{align} B-A &=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ B-\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -1-2 & 3-1\\ 0-1 & 2-0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} &= A \\ -32-14 &= \left A \right \\ -2 &= \left A \right \end{align} $ Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right }$ dan $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A $maka $\begin{align} \left 2 A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left A \right } \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -2$30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B=\begin{pmatrix} -3 & 5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Jika $A$ memenuhi $B \cdot A=C$ maka determinan dari $\left 2A^{-1} \right$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & -\dfrac{1}{2} \\ D\ & \dfrac{1}{2} \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada perkalian matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ \leftA \cdot B \right = \leftA \right \cdot \left B \right$ dan $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$, maka berlaku $\begin{align} \leftB \right &= \begin{vmatrix} -3 & 5\\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= -32-15=-1 \\ \leftC \right &= \begin{vmatrix} 4 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\ &= 43-52=2 \\ \hline B \cdot A &=C \\ \leftB \cdot A \right &= \left C \right \\ \leftB \right \cdot \left A \right &= \left C \right \\ -1 \cdot \left A \right &= 2 \\ \left A \right &= -2 \\ \hline \left 2 A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left A \right } \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -2$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} -7 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^{3}+B=C$, maka determinan matriks $3 A^{-1}$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -2 \\ C\ & -1 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$, maka berlaku $\begin{align} A^{3}+B &= C \\ A^{3} &= C-B \\ &= \begin{pmatrix} -7 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -7-2 & 2-1\\ 0+3 & 4-2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -9 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \left A^{3} \right &= -92-33 \\ \left A \right^{3} &= -27 \\ \left A \right &= -3 \\ \hline \left 3 A^{-1} \right &= 3^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 9 \cdot \dfrac{1}{-3} \\ &= -3 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -3$32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$. Matriks $C=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & -5 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanHubungan matriks $\begin{align} A & \Leftrightarrow B \\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{align} $ Jika kita perhatikan hubungan kedua matriks di atas adalah unsur-unsur pada diagonal utama bertukar tempat lalu dikalikan dengan $-1$ dan unsur-unsur pada diagonal samping bertukar tempat. $\begin{align} C & \Leftrightarrow D \\ \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ \hline C + D &= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix}$33. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapSuatu perusahaan konveksi memproduksi tiga model pakaian. Lama waktu pemotongan, penjahitan, dan finishing setiap potong pakaian disajikan dalam tabel berikut. Lama Waktu Potong Jahit Finishing Model A 0,1 0,3 0,1 Model B 0,1 0,2 0,2 Model C 0,3 0,4 0,1 Jumlah waktu yang tersedia di bagian pemotongan, penjahitan dan finishing disajikan dalam tabel berikut. Pemotongan 68 Penjahitan 116 FinishingB 51 Jika banyak model pakaian yang akan diproduksi untuk model $A,\ B,\ \text{dan}\ C$ berturut-turut $x,\ y,\ \text{dan}\ z$, persamaan matriks yang sesuai untuk masalah tersebut adalah... $ \begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 & 1160 & 510 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 68 \\ 116 \\ 51 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif PembahasanJika tabel pada soal kita gabungkan kurang lebih seperti berikut ini Lama Waktu Potong Jahit Finishing Model A $x$ 0,1 0,3 0,1 Model B $y$ 0,1 0,2 0,2 Model C $z$ 0,3 0,4 0,1 Total Waktu 68 116 51 Dari tabel di atas dapat kita ambil kesimpulan Waktu Pemotongan $0,1x+0,1y+0,3z=68$ $ x+ y+3z=680$ Waktu Penjahitan $0,3x+0,2y+0,4z=116$ $ 3x+ 2y+ 4z=1160$ Waktu Finishing $0,1x+0,2y+0,1z=116$ $ x+ 2y+ z=510$ Ketiga persamaan yang kita dapat di atas adalah persamaan linear tiga variabel, dimana jika penulisan kita rubah dalam bentuk matrks menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix}$ Untuk membuktikan penulisan matriks di atas benar atau salah dapat dicoba dengan mencoba mengalikan matriks. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix}$34. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 7 & -9 \\ 10 & -2 \end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $X=A+2B-C^{T}$, dengan $C^{T}$ merupakan transpose matriks $C$. Invers matriks $X$ adalah... $ \begin{align} A\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ B\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \\ C\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \\ D\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \\ E\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -6 & -3 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} X = & A+2B-C^{T} \\ = & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -9 & -2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 & 14 \\ -4 & -8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -9 & -2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 4+6-7 & -2+14-10 \\ 1-4+9 & 5-8+2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ $ \begin{align} X^{-1} = & \dfrac{1}{3-1-2-6} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ = & \dfrac{1}{-3-12} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ = & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ 35. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4x-y & -2 \\ z & 4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ -10 & 10 \end{pmatrix}$ dan $C^{T}$ adalah transpose matriks $C$. Jika $3A-B=C^{T}$, nilai dari $-3x+y+5z$ adalah... $ \begin{align} A\ & 8 \\ B\ & 10 \\ C\ & 14 \\ D\ & 16 \\ E\ & 20 \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} C^{T} = & 3A-B \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & 3\begin{pmatrix} 4x-y & -2 \\ z & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & \begin{pmatrix} 12x-3y & -6 \\ 3z & 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & \begin{pmatrix} 12x-3y-2 & -6-y-2 \\ 3z-1 & 12-z+x \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matrks di atas kita peroleh$-6-y-2=-10$ sehingga $y=2$ $3z-1=8$ sehingga $z=3$ $12-z+x=10$ sehingga $x=1$ Nilai $-3x+y+5z$ adalah $-31+2+53=-3+2+15=14$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 14$ 36. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 *Soal LengkapDiketahui $A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} A+tB &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -t & 2t\\ t & t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{pmatrix} \\ 0&= \begin{vmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{vmatrix} \\ 0&= \left 1-t^{2}\right-\left4+6t+2t^{2}\right \\ 0&= -3t^{2}-6t-3 \\ 0&= t^{2}+2t+1 \\ 0&= \leftt+1 \right^{2} \\ & t=-1 \\ t^{2}+3t+2 &= -1^{2}+3-1+2 \\ &= 0 \\ \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 0$ 37. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $M$ matriks berordo $2 \times 2$ dan $M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix}$, maka matriks $M^{2}$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 9 & 4\\ 1 & 25 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 25 & -4\\ -2 & 15 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 27 & -8 \\ -4 & 15 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh $\begin{align} M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{23-41} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -23+1-4 & -2-1+12\\ 143+10-4 & 14-1+102 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ M^{2}\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5-5+21 & -52+23\\ 1-5+31 & 12+33 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix}$ 38. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Hasil kali matriks $A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix}$. Matriks $A$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 4 & 7 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 7 & 2\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh $\begin{align} A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}^{-1} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{56-0-3}\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -106+300 & -103+305\\ 356+-270 & 353+-275 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -60 & 120 \\ 210 & -30 \end{pmatrix} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix}$ 39. Soal SPMB 2007 Kode 741 *Soal Lengkap Jika matriks $X$ memenuhi $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. maka invers dari matriks $X$ adalah $X^{-1}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 6\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} -1 & 0\\ -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$, maka kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{20+13} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 02+-30 & 01+-33\\ -12+20 & -11+23 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -9 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -\frac{2}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix} \\ X^{-1} &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{5}{3} & 3 \\ \frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}$ 40. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka $p+q+r+s=\cdots$ $\begin{align} A\ & -5 \\ B\ & -4 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+2+0 & -1+0+0 \\ -3-1+4 & 3+0+2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$ Nilai $p+q+r+s$ adalah $-2+1+0-4=-5$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -5$ 41. Soal SIMAK UI 2009 kode 921 *Soal LengkapJika $B=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $\leftBA^{-1} \right^{-1} =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$, maka matriks $A=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 10 & 13 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat invers matriks $\left A \cdot B \right^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $\left A^{-1} \right^{-1}=A$ dapat kita peroleh $\begin{align} \leftBA^{-1} \right^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \leftA^{-1} \right^{-1} \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B \\ A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} 23+1-2 & 2-1+11 \\ 43+3-2 & 4-1+31 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$ 42. Soal SIMAK UI 2010 kode 205 *Soal Lengkap Diketahui $AX=B$, $BC=D$. Jika $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D=\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$, maka $X$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 41 & -19 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 33 & 54 \\ 19 & 31 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} -33 & 19 \\ 54 & -31 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} -41 & -2 \\ 19 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$ dapat kita peroleh $\begin{align} AX &= B \\ AX &= D \cdot C^{-1} \\ X &= A^{-1} \cdot D \cdot C^{-1} \\ &= \dfrac{1}{ -5-6} \cdot \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{3-2} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -57+-25 & -52+-21 \\ 37+15 & 32+11 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -45 & -12 \\ 26 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix}$ 43. Soal SIMAK UI 2012 kode 223 *Soal LengkapJika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$, $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan... $\begin{align} 1\ & BD=CD \\ 2\ & B=C \\ 3\ & ABD=ACD \\ 4\ & B^{-1}-C^{-1}=DA \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat distributif dan $ A \cdot A^{-1} =I$ dapat kita peroleh $\begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left B^{-1}- C^{-1} \right &= A \\ D \cdot D^{-1} \left B^{-1}- C^{-1} \right &= D \cdot A \\ I \cdot \left B^{-1}- C^{-1} \right &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4\ B^{-1}-C^{-1}=DA$ 44. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 *Soal Lengkap Jika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $M$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh $\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix} \\ \left M \right \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{vmatrix} \\ \left M \right \times \left ad-bc \right &= \left ab-bd-ab-bc \right \\ \left M \right &= \dfrac{\left ab-bd-ab+bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{\left -bd +bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{-\left bd-bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -1$ 45. Soal SNMPTN 2010 Kode 774 *Soal Lengkap Jika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $M$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh $\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix} \\ \left M \right \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{vmatrix} \\ \left M \right \times \left ad-bc \right &= \left -ad-cd-bc-cd \right \\ \left M \right &= \dfrac{\left -ad-cd+bc+cd \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{\left -ad +bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{-\left ad-bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -1$ 46. Soal SPMB 2004 Regional I *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} a & 1-a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ maka nilai $b$ adalah... $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & -\dfrac{1}{2} \\ C\ & 0 \\ D\ & \dfrac{1}{2} \\ E\ & 1 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan $\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{a1-1-a0} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-1+a}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{a}=2$ sehingga $a=\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{-1+a}{a}=b$ sehingga $b=\dfrac{-1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -1$ 47. Soal SPMB 2004 Regional III *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix}$ memenuhi $AB=C$, maka $\left a-b \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 4 \\ D\ & 5 \\ E\ & 6 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian pada matriks karena $AB=C$, maka dapat kita peroleh $\begin{align} AB &= C \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+11 \\ -2a+31 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+1 \\ -2a+ 3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2a+1=11$ sehingga $a= 5$ $-2a+3=1-4b$ sehingga $ b=\dfrac{2a-2}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ $\left a-b \right=\left 5-2 \right=3$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$ 48. Soal SPMB 2004 Regional III *Soal Lengkap Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan invers matriks dan perkalian pada matriks, maka dapat kita peroleh $\begin{align} A^{-1}B^{T} &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 1 \end{pmatrix}^{T} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{23-17}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 24+-71 \\ -14+31 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=0$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 49. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $I$ matriks satuan dan matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}=pA+qI$ maka $p+q$ sama dengan... $\begin{align} A\ & 15 \\ B\ & 10 \\ C\ & 5 \\ D\ & -5 \\ E\ & -10 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} A^{2} &= pA+qI \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} &= p\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 22+1-4 & 21+13 \\ -42+3-4 & -41+33 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p+q & p \\ -4p & 3p+q \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $p=5$ $2p+q=0$ sehingga $q=-2p=-10$ $p+q=5-10=-5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -5$ 50. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Bila $A=\begin{pmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & \dfrac{\pi}{6} \\ C\ & \dfrac{\pi}{4} \\ D\ & \dfrac{\pi}{3} \\ E\ & \dfrac{\pi}{6}\ \text{dan} \dfrac{\pi}{2} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan trigonometri sudut istimewa dan bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ akan kita perlukan. $\begin{align} \left A \right &= 1 \\ \begin{vmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= sin^{2}x+cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x &= cos\ x \\ \dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \dfrac{\pi}{6}$ 51. Soal SPMB 2005 Regional III *Soal Lengkap Jika $det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$, maka $x=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1\ \text{atau}\ 2 \\ B\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ C\ & 2\ \text{atau}\ 3 \\ D\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ E\ & -2\ \text{atau}\ 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh $\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2x-3x-1 &= 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1\ \text{atau}\ 3$ 52. Soal SPMB 2005 Regional I *Soal Lengkap Jika $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $ \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$, $p \neq q$, $p \neq 0$, dan $q \neq 0$ maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p & -q \\ -q & p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} pp+-qq \\ -qp+pq \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p^{2}-q^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=0$ sehingga $x+y=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 1$ 53. Soal UM UGM 2005 Kode 621 *Soal Lengkap Matriks $\begin{pmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix}$ tidak mempunyai invers untuk nilai $x=\cdots$ $\begin{align} A\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\ B\ & -1\ \text{atau}\ 0 \\ C\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ D\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ E\ & 1\ \text{atau}\ 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan syarat sebuah matriks tidak mempunyai invers jika determinan sama dengan nol atau $\left A \right = 0$, maka dapat kita tuliskan. $\begin{align} \begin{vmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{vmatrix} & = 0 \\ x1-x-1-2 & = 0 \\ x-x^{2}+2 & = 0 \\ x^{2}-x-2 & = 0 \\ \leftx-2 \right\leftx+1 \right & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -1\ \text{atau}\ 2$ 54. Soal SPMB 2005 Regional II *Soal Lengkap Agar matriks $ \begin{pmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{pmatrix}$, mempunyai invers, syaratnya adalah... $\begin{align} A\ & p \neq 0 \\ B\ & q \neq 0 \\ C\ & pq \neq 0 \\ D\ & p \neq 1\ \text{dan}\ p \neq -1 \\ E\ & q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan syarat sebuah matriks mempunyai invers jika determinan tidak sama dengan nol atau $\left A \right \neq 0$, maka dapat kita tuliskan. $\begin{align} \begin{vmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ p-1p+1-p-qp+q & \neq 0 \\ p^{2}-1- \leftp^{2}-q^{2} \right & \neq 0 \\ p^{2}-1- p^{2}+q^{2} & \neq 0 \\ -1 +q^{2} & \neq 0 \\ q^{2}-1 & \neq 0 \\ \left q+1 \right\leftq-1 \right & \neq 0 \\ q \neq -1\ \text{atau}\ q \neq 1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1$ 55. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I *Soal Lengkap Jika sistem persamaan linear $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{matrix}\right.$ dan $x=\dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ maka $a=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2p+3q \\ B\ & 2p-3q \\ C\ & 3p+2q \\ D\ & 3p-2q \\ E\ & -3p+2q \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi, maka kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2x-3y=p & \times 2\\ 3x+2y=q & \times 3 \\ \hline 4x-6y=2p & \\ 9x+6y=3q & + \\ \hline 13x =2p+3q \\ x =\dfrac{2p+3q}{13} \end{array} $ Nilai $x$ di atas kita substitusi ke persamaan yang diketahui pada soal, sehingga kita peroleh $\begin{align} x &= \dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}} \\ \dfrac{2p+3q}{13} &= \dfrac{a}{4+9} \\ \hline a & = 2p+3q \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 2p+3q$ 56. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III *Soal Lengkap Jika $P=\begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}$ dan $P^{-1}$ adalah invers dari $P$, maka $\leftP^{-1} \right^{2}$ sama dengan matriks $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1+2x & -2x \\ 2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 2x & 1-2x \\ 1+2x & -2x \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1-2x & 2x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1+2x & 2x \\ -2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan $\begin{align} P &= \begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \\ P^{-1} &=\dfrac{1}{1+x1-x-xx} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ \leftP^{-1} \right^{2} &= \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-x^{2}-x^{2} & 1-x-x-x1+x \\ x1-x + x1+x & -x^{2}+1+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x+x^{2}-x^{2} & -x+x^{2}-x-x^{2} \\ x-x^{2} + x+x^{2} & -x^{2}+1^{2}+2x+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$ 57. Soal UM UGM 2005 Kode 821 *Soal Lengkap Jika $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} $ dan $\alpha$ suatu konstanta maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan identitas trigonomteri sedikit kita butuhkan salah satunya bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$. Dari persamaan $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha & -sin\ \alpha\ cos\ \alpha + sin\ \alpha\ cos\ \alpha \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh nilai $x+y=1+0=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 1$ 58. Soal SPMB 2006 Kode 111 Regional I *Soal Lengkap Jika konstanta $k$ memenuhi persamaan $ \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & \left 2+k \right\left 1+k \right \\ B\ & \left 2-k \right\left 1+k \right \\ C\ & \left 2-k \right\left 1-k \right \\ D\ & \left 1+k \right\left 1-k \right \\ E\ & \left 1-k \right\left 2+k \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{k0-11} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -k \\ -1 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 00+-1k \\ -10+kk \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= -1 \cdot \begin{pmatrix} -k \\ k^{2} \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x-1=k$ sehingga $x=k+1$ $y-1=-k^{2}$ sehingga $y=1-k^{2}$ $x+y$ adalah $-k^{2}+k+2=-k-2k+1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \left 2-k \right\left 1+k \right$ 59. Soal SPMB 2006 Kode 411 Regional I *Soal Lengkap Jika $A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & x \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} bx & a \\ b & x \end{pmatrix}$ maka jumlah kuadrat semua akar persamaan $det\ A=det\ B$ adalah... $\begin{align} A\ & \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left a-b \right \\ B\ & \left \dfrac{b}{a} \right^{2}-2\left a-b \right \\ C\ & \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left b-a \right \\ D\ & \left \dfrac{b}{a} \right^{2}-2\left b-a \right \\ E\ & \dfrac{b}{a}-2\left b-a \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita pinjam catatan persamaan kuadrat yaitu untuk $ax^{2}+bx+c=0$ yang akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $ x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$ Jumlah kuadrat akar-akar adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ $\begin{align} det\ A &= det\ B \\ \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\ ax-b^{2} &= bx^{2}-ab \\ ax-b^{2}-bx^{2}+ab &= 0 \\ bx^{2}-ax+b^{2}-ab &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left x_{1}+x_{2} \right^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left \dfrac{b^{2}-ab}{b} \right \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left \dfrac{b b-a}{b} \right \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left b-a \right \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left b-a \right$ 60. Soal SPMB 2006 Kode 310 Regional II *Soal Lengkap Jika $x=1$, $y=-1$, $z=2$ adalah solusi sistem persamaan linear $\begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} $ maka nilai $a^{2}-bc=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi atau substitusi, maka kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b-6 \\ -2+b+2c \\ a-3-2c \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} a-b-6=-3 & \\ -2+b+2c=-1 & \\ a-3-2c=-3 & \\ \hline a-b= 3 & \cdots 1 \\ b+2c= 1 & \cdots 2 \\ a -2c=0 + & \cdots 3 \\ \hline 2a=4 & \\ a=2 \end{array} $ Untuk $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$. Sehingga nilai $a^{2}-bc=2^{2}-11=5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 5$ 61. Soal SPMB 2006 Kode 510 Regional III *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix}$ dimana $B$ adalah transpose dari matriks $A$, maka $x^{2}+\left x+y \right+\left x y \right+y^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka transpose matriks $A$ adalah $A^{T}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix}$. $\begin{align} A^{T} &= B \\ \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-1=\dfrac{1}{2}x$ sehingga $x=2$ $x=-2y$ sehingga $y=-1$ $\begin{align} & x^{2}+\left x+y \right+\left x y \right+y^{2} \\ & = \left 2 \right^{2}+\left 2-1 \right+\left 2 \right\left -1 \right+\left -1 \right^{2} \\ & = 4+1-2+1 \\ & =4 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4$ 62. Soal UM UGM 2006 Kode 381 *Soal Lengkap Apabila $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} $ maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{13-2-1} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3-1+22 \\ 1-1+12 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 2$ 63. Soal SPMB 2007 Kode 341 *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka determinan dari matriks $\left A+B \right^{2}$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -2 \\ C\ & 0 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dan determinan matriks $\left A^{n} \right=\left A \right^{n}$ dapat kita peroleh $\begin{align} \left \left A+B \right^{2} \right &= \left \left \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right^{2} \right \\ &= \left \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} ^{2} \right \\ &= \left \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} \right^{2} \\ &= \left 15-15 \right^{2}=0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 64. Soal SPMB 2007 Kode 541 *Soal Lengkap Pada matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$, jika bilangan positif $1,a,c$ membentuk barisan geometri berjumlah $13$ dan bilangan positif $1,b,c$ membentuk barisan aritmatika, maka $det\ A=\cdots$ $\begin{align} A\ & 17 \\ B\ & 6 \\ C\ & -1 \\ D\ & -6 \\ E\ & -22 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas, silahkan di simak catatan tentang Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri. Dari barisan geometri $1,a,c$ berjumlah $13$ berlaku $\begin{align} u_{2}^{2} &= u_{1} \cdot u_{3} \\ a^{2} &= 1 \cdot c \\ a^{2} &= c \\ \hline 1+a+c &= 13 \\ c &= 12-a \\ \hline a^{2} &= 12-a \\ a^{2} +a -12 &= 0 \\ a+4a-3 &= 0 \\ a=3 & \\ c=9 & \end{align}$ Dari barisan aritmatika $1,b,c$ berlaku $\begin{align} 2u_{2} &= u_{1} + u_{3} \\ 2b &= 1 + c \\ 2b &= 1 + 9 \\ b &= 5 \end{align}$ Determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ adalah $9-15=-6$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -6$ 65. Soal SPMB 2007 Kode 441 *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}-2A+I$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 0 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 13 & 1 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} &A^{2}-2A+I \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 22+04 & 20+01 \\ 42+14 & 40+11 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4-4+1 & 0 -0+0 \\ 12-8+0 & 1-2+1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ 66. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 *Soal Lengkap Diketahui invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ Matriks $x$ yang memenuhi hubungan $AX=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 1 & 25 \\ 4 & 13 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 1 & -4 \\ 4 & -12 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -7 & -4 & -12 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 14 & 25 & 13 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan salah satu sifat matriks $A \cdot A^{-1} = I$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} AX &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} \cdot AX &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ I \cdot X &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 12+01+20 & 1-1+00+2-3 \\ 12+21+10 & 1-1+20+1-3 \\ 32+51+30 & 3-1+50+3-3 \\ \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C\ \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix}$ 67. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 *Soal Lengkap Diberikan dua buah matriks $M=\begin{bmatrix} a+b & a \\ b & a-b \end{bmatrix}$ dan $N=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix}$. Jika $M^{t}=N$, dengan $M^{t}$ menyatakan transpose matriks $M$, maka nilai $a$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan persamaan $M^{t}=N$ ke matriks $M$ dan $N$, sehingga dapat kita peroleh. $\begin{align} M^{t} & = N \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \hline a+b & = 1 \\ a-b & = 3 \\ \hline 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $E\ 2$ 68. Soal UM UGM 2019 Kode 634 *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan $k$ merupakan skalar sehingga $A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix}$ maka $x+y+z=\cdots$ $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 4 \\ C\ & 5 \\ D\ & 6 \\ E\ & 7 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $1+k=-1$ sehingga $k=-2$. $z+kz=-2$ sehingga $z-2z=-2 \rightarrow z=2$. $\begin{array}{cccc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &+ \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array} $ Nilai $x+y+z=3-1+2=4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 4$ 69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 *Soal Lengkap Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left D^{T}-B \right=m$ dan $det \left C \right=n$, maka $det \left 2A^{-1} \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{4}{mn} \\ B\ & \dfrac{mn}{4} \\ C\ & \dfrac{4m}{n} \\ D\ & 4mn \\ E\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ $\left A \pm B \right^{T} = A^{T} \pm B^{T} $ $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$ Dari $det \left D^{T}-B \right=m$ dan $det \left C \right=n$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left A \right &= \left C \left D - B^{T} \right \right \\ \left A \right &= \left C \right \cdot \left \left D - B^{T} \right \right \\ \left A \right &= n \cdot \left \left D^{T} - B \right^{T} \right \\ \left A \right &= n \cdot m \\ \hline \left 2A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left A \right} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \dfrac{4}{mn}$ 70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 *Soal Lengkap Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah... $\begin{align} A\ & -5 \\ B\ & -4 \\ C\ & 0 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left A^{T} A+BB^{T} \right &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= 310-55 \\ &= 30-25 =5 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 5$ 71. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $A$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $c$ dan $d$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ A^{-1} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= A^{-1} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ I \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2c-d \\ 2c+d \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} 4+d &= 2c+d \\ 4 &= 2c\ \longrightarrow c=2 \\ \hline 3-c &= 2c-d \\ d &= 2c+c-3 \\ d &= 32-3= 3 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=d-c=3-2=1$ dan $Q=1$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ 72. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $F$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix}=F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $m$ dan $n$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ F^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F^{-1} \cdot F \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= I \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -5+8 & n+2m \\ -5+4 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & n+2m \\ -1 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} n+m &= 0 \\ n &= -m \\ \hline n+2m &= 1 \\ -m+2m &= 1 \\ m &= 1\ \longrightarrow n=-1 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=2m-n=21-1=3$ dan $Q=3$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ 73. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ merupakan invers matriks $B$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix}=3B$ untuk suatu bilangan real $x$ dan $y$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} B &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \\ B &= \dfrac{1}{-51-2-3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ B &= \dfrac{1}{-5+6} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari persamaan matriks pada soal dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3B \\ \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x+1 & -9+y \\ 2+y+2x & -15 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & -15 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} x+1 &= 3 \\ x &= 2 \\ \hline -9+y &= -6 \\ y &= 3 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=3x-2y=32-23=0$ dan $Q=0$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa dari Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks silahkan disampaikan Ÿ™ CMIIWŸ˜Š. Jangan Lupa Untuk Berbagi Ÿ™ Share is Caring Ÿ€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLEŸ˜Ĺ
Searchresults for Aljabar Linear Matriks Eselon Matriks yang mempunyai bentuk eselon baris tereduksi (seperti pada Contoh 4) harus memiliki sifat sebagai berikut: 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya. Explore all categories to find your favorite topic
bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel - Selamat datang di website kami. Pada saat ini admin akan membahas perihal bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya Soal UN Matematika Tahun 2020 RPP REVISI 2018 from matriks bcg dapat digunakan untuk menganalisis bisnis unit strategis, merek, produk atau bahkan perusahaan itu sendiri. Tentukan pasar market menentukan pasar merupakan hal yang paling penting dalam melakukan analisis. Yaitu hotel yang menerima tamu untuk tinggal dalam jangka waktu yang agak lama, tapi tidak untuk menetap. bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya Matriks Yang Sesuai Untuk Menentukan Biaya HotelFind the best hotels & motels, around anacortes,wa and get detailed driving directions with road conditions, live traffic updates, and reviews of local business along the way. Analisis matriks bcg dapat digunakan untuk menganalisis bisnis unit strategis, merek, produk atau bahkan perusahaan itu sendiri. Maraknya aplikasi pemesanan hotel online juga menawarkan solusi lain bagi mereka yang tak punya banyak waktu untuk mencari hotel atau penginapan yang sesuai harapan. Yaitu hotel yang menerima tamu untuk tinggal dalam jangka waktu yang agak lama, tapi tidak untuk menetap. It is rarely possible to put an extra bed in standard rooms. bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya lain penggunaan aplikasi booking hotel adalah karena harga yang ditawarkan lebih county’s bellingham best western hotel is 52 miles from vancouver and only 20 minutes from the us/canadian border. Key features of hotel accommodation in the united states Dasar penilaian yang digunakan untuk menentukan jumlah bintang yang diterima antara lain adalahSquare4 matriks biaya untuk pekerjaan jalan pertama adalah menentukan pilihan terhadap unit mana yang akan dianalisis. Selain itu, pengaruh teknologi juga berperan pada meningkatnya tingkat hunian hotel. Find the best hotels & motels, around anacortes,wa and get detailed driving directions with road conditions, live traffic updates, and reviews of local business along the hotel yang menerima tamu untuk tinggal dalam jangka waktu yang agak lama, tapi tidak untuk bcg adalah sebuah matriks diagram yang diciptakan oleh bruce d. Array dua dimensi juga dapat digunakan untuk menentukan lokasi tempat pembangunan gudang yang terdekat dengan dua buah pabrik, dimana gudang tersebut digunakan untuk menyimpan hasil produksi dari dua buah pabrik tersebut. Tentukan pasar market menentukan pasar merupakan hal yang paling penting dalam melakukan menghitung harga pokok tarif kamar hotel, dibutuhkan aktivitas yang sesuai dengan pemicu biaya cost driver.Maraknya aplikasi pemesanan hotel online juga menawarkan solusi lain bagi mereka yang tak punya banyak waktu untuk mencari hotel atau penginapan yang sesuai harapan. Array dua dimensi dapat digunakan untuk menentukan biaya minimal untuk membuat jalan tol untuk menghubungkan dua perusahaan. Kualifikasi tenaga kerja, meliputi pendidikan dan kesejahteraan is 11 minutes from bellingham hotel to western washington university and 14 minutes to historic biaya rehabilitasi di bellingham, washington? Sebenarnya, proses perkalian matriks ini tidak serumit kelihatannya. Henderson untuk membantu perusahaan dalam menganalisis serta mengelola unit usaha dan lini itulah pembahasan tentang bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel yang bisa kami sampaikan. Terima kasih sudah pernah berkunjung di website beta. mudah-mudahan tulisan yang kami bahas diatas memberikan manfaat bagi pembaca dengan melimpah pribadi yang sudah berkunjung di website ini. awak pamrih desakan sejak seluruh kubu pelebaran website ini supaya lebih baik lagi.
9l4M6. bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel
